La IA resuelve un problema matemático del milenio de 1 millón de dólares
Matemáticos de OpenAI demostraron que las ecuaciones de Navier-Stokes, que describen el flujo de los fluidos, pueden presentar singularidades o "explosiones". Sin embargo, este resultado masivo no está exento de controversia.
Introducción
En la mañana del martes 8 de septiembre, matemáticos de OpenAI anunciaron que un grupo de 10.000 agentes de IA autónomos bajo su dirección, ejecutándose en un modelo avanzado no disponible para el público, encontró una "singularidad" en las ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones. Esto resuelve uno de los seis problemas del milenio planteados en el año 2000 por el Clay Mathematics Institute, cada uno de los cuales conlleva un premio de 1 millón de dólares. Su resultado ha sido verificado formalmente en el lenguaje de programación Lean, lo que brinda a los matemáticos confianza sobre su validez.
Si el resultado resiste un escrutinio mayor, es, por un margen significativo, la prueba matemática más importante obtenida por un modelo de inteligencia artificial hasta la fecha, marcando posiblemente un punto de inflexión fundamental en cómo los matemáticos abordan problemas complejos.
Este problema en particular trata sobre ecuaciones diferenciales, las cuales expresan relaciones entre cantidades cambiantes. Podría decirse que son la herramienta matemática más importante para explicar el mundo que nos rodea. Por regla general, son fáciles de escribir, pero extremadamente difíciles de resolver.
Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales que utilizan la segunda ley de Newton para describir cómo se comportan los fluidos, desde las corrientes oceánicas hasta los flujos de aire. Fueron escritas por primera vez a mediados del siglo XIX y han sido fundamentales para el estudio de la mecánica de fluidos desde entonces. Sin embargo, una pregunta básica sobre las ecuaciones ha persistido: ¿Son sus soluciones siempre estables? ¿O pueden evolucionar con el tiempo de tal manera que una parte infinitesimalmente pequeña del fluido comience a fluir infinitamente rápido, creando una llamada singularidad?
El anuncio de OpenAI sobre esta singularidad, largamente buscada, llegó 12 horas después de un anuncio de Tristan Buckmaster de la Universidad de Nueva York, quien, junto con Levent Alpöge de Anthropic, había resuelto varios problemas estrechamente relacionados con la ayuda de diversos modelos de IA, incluidos los de OpenAI.
Ambos equipos habilitados por IA confiaron en gran medida en el trabajo de Diego Córdoba del Instituto de Ciencias Matemáticas de Madrid y Luis Martínez-Zoroa de la Universidad CUNEF, investigadores que desarrollaron una estrategia para atacar el problema que se apartaba radicalmente de los métodos que la mayoría de los matemáticos estaban utilizando.
"Estaba emocionado de que el problema fuera resuelto", dijo Charles Fefferman de la Universidad de Princeton, quien escribió la descripción oficial del problema de Navier-Stokes para el Clay Institute. Los héroes de la historia, dijo, son Córdoba y Martínez-Zoroa. Como escribió Buckmaster en una declaración anunciando sus resultados: "Permítanme dejar claro lo que he dicho a mis colegas en privado: en vista de este cuerpo de trabajo, creo que Luis Martínez-Zoroa merece una Medalla Fields".
Una sensación singular
Las ecuaciones de Navier-Stokes se basan en la suposición de que puedes hacer zoom en un fluido, considerando cantidades infinitamente menores de este. El mundo real no es así: los fluidos están hechos en última instancia de moléculas y átomos. No son perfectamente suaves. Esto significa que los resultados matemáticos sobre la formación de singularidades no tienen consecuencias prácticas inmediatas. Sin embargo, esos resultados son importantes porque es sorprendente que tales singularidades sean posibles incluso en un sentido idealizado. Nos dice que, por muy directa que parezca la segunda ley de Newton, sus consecuencias cuando se aplican a los fluidos son profundamente contraintuitivas. Dicho de otra manera: la turbulencia es aún más extraña de lo que parece.
Las ecuaciones de Navier-Stokes tienen en cuenta el hecho de que los fluidos pueden tener viscosidad o fricción. (Los fluidos con más viscosidad, como la miel, fluyen lentamente, mientras que los que tienen menos, como el agua, fluyen más rápido). Un conjunto de ecuaciones relacionadas más simple, llamado ecuaciones de Euler, describe fluidos con viscosidad cero, que fluyen sin fricción. Ambos conjuntos de ecuaciones están estrechamente relacionados; los investigadores a menudo trabajan en paralelo en ambos. Pero introducir incluso una cantidad infinitesimal de fricción hace que un fluido se comporte de una manera profundamente diferente.
Para visualizar el fenómeno, se puede observar la siguiente representación del vórtice generado por OpenAI, donde los colores indican la velocidad de rotación.
El gráfico anterior muestra cómo los modelos de IA han logrado mapear la evolución del fluido en entornos de alta complejidad. La visualización es clave para comprender por qué los matemáticos consideraban imposible este hallazgo hace apenas una década.
"Hace diez años, nadie creía que hubiera una singularidad para Navier-Stokes", dijo Córdoba, aunque muchos creían que las ecuaciones de Euler sí admitían una singularidad. Esto comenzó a cambiar en 2013, cuando Thomas Hou del Instituto de Tecnología de California y Guo Luo, ahora en la Universidad Hang Seng de Hong Kong, derivaron un resultado innovador que mostraba que las ecuaciones de Euler pueden "explotar" en un cilindro si las mitades superior e inferior se ponen a girar en direcciones opuestas. "Esa es la primera afirmación realmente seria de una singularidad", recordó Córdoba. Durante los años siguientes, una serie de resultados, incluido un artículo de 2019, hicieron que los matemáticos pensaran que no solo las ecuaciones de Euler podrían tener singularidades, sino que las de Navier-Stokes también.
Existen algunos pasos intelectuales para llegar desde allí hasta el día de hoy. El primero es la cuestión de un límite. La versión del problema del Premio del Milenio pregunta qué sucede en un espacio tridimensional que se extiende indefinidamente en todas las direcciones. Los resultados anteriores, como el del cilindro de 2013, postulan la existencia de algún límite. Estos son hallazgos intermedios útiles, pero el caso sin límite es matemáticamente interesante, según Fefferman, porque en modelos con límite, encontrar una singularidad "te dice que el fluido puede formar una singularidad gracias a su interacción con el límite, pero sin un límite es el fluido el que hace las cosas locas".
El siguiente paso importante implica modelar las fuerzas que hacen que los fluidos se muevan. Estas podrían ser algo tan natural como la gravedad tirando del fluido hacia abajo, o una intervención artificial como una hélice. Los matemáticos modelan estas fuerzas con una técnica llamada "forcing". A veces han intentado introducir funciones de fuerza incómodas y poco elegantes para que los fluidos se comporten de maneras extrañas. Pero la versión del Premio del Milenio del problema pregunta qué puede suceder cuando la función de fuerza es matemáticamente estable, o "suave".
En su resultado del cilindro de 2013, Hou y Luo utilizaron modelos informáticos para simular un escenario que podría llevar a que las ecuaciones de Euler explotaran. Luego probaron que la explosión ocurre al contabilizar computacionalmente todos los errores potenciales. En los años posteriores, técnicas similares se han convertido en el modo dominante de ataque a los problemas de Euler y Navier-Stokes.
Pero en su tesis doctoral de 2021, Martínez-Zoroa fue pionero en técnicas analíticas que no dependen de computadoras en absoluto. Esto lo convirtió, junto con Córdoba, su asesor doctoral, en un caso atípico en el área. Para 2023, la pareja había demostrado que una versión de las ecuaciones de Euler con una función de fuerza compleja mostraba singularidades. Córdoba suele bromear: "Yo no uso IA: tengo a Luis". Martínez-Zoroa añadió que el trabajo conjunto con los agentes de IA ha permitido escalar estos razonamientos analíticos a una escala de procesamiento inalcanzable para un humano individual.
Vía Quanta Magazine.
